Комплексные числа.Вычислить.

0 голосов
24 просмотров

Комплексные числа.Вычислить. \sqrt[5]{-1-i}


задал (15 баллов) по предмету Математика
1 Ответ
0 голосов
 
Лучший ответ

Рассмотрим z=-1-i. Модуль комплексного числа: |z|= \sqrt{(-1)^2+(-1)^2} = \sqrt{2}

Тогда

                      z=-1-i=\sqrt{2}\cdot \bigg(- \dfrac{1}{ \sqrt{2} } - \dfrac{i}{\sqrt{2}}\bigg)=\sqrt{2}\bigg(\cos \dfrac{5 \pi }{4} +i\sin \dfrac{5 \pi }{4} \bigg)

Согласно формуле Муавра:

         \sqrt[5]{z}=\sqrt[10]{2}\bigg(\cos \dfrac{\frac{5 \pi }{4}+2 \pi k}{5} +i\sin \dfrac{\frac{5 \pi }{4}+2 \pi k}{5} \bigg)

Дополнительное объяснение. Косинус отрицателен только в II и III четвертях, а синус - в III и IV. В нашем случае оба тригонометрические функции отрицательные, т.е. синус и косинус будут отрицательны только в III четвертях.(нахождение угла смотрите во вложении картинки)



image
решение Доцент (51.5 тыс. баллов)
...