Найти (в градусах) наименьший положительный корень уравнения sinx+sin2x+sin3x=1 +...

0 голосов
55 просмотров

Найти (в градусах) наименьший положительный корень уравнения
sinx+sin2x+sin3x=1 + cosx+cos2x

a) 30
b) 60
c) 90
d) 150
e) 270


задал (31 баллов) по предмету Алгебра
1 Ответ
0 голосов
\sin x+\sin2x+\sin3x=1+\cos x+\cos2x\\ \sin x+2\sin x| \sqrt{1-\sin^2x} |+3\sinx-4\sin^3x=1+|\sqrt{1-\sin^2x} |+1-2\sin^2x
Пусть \sin x=t, причем |t| \leq 1, тогда получаем
t+2t| \sqrt{1-t^2} |+3t-4t^3=2+|\sqrt{1-t^2}|-2t^2
ОДЗ: 1-t²≥0, откуда -1≤t≤1
Пусть \sqrt{1-t^2}=a, имеем
4t+2ta-4t^3=2+a-2t^2\\-2t(2t^2-a-2)+(2t^2-a-2)=0\\ (2t^2-a-2)(-2t+1)=0
Преобразуем первое уравнение
*********************************************************
2t^2-a-2=0\\ t^2= \frac{a+2}{2} \\ t=0;\,\,\,\, a=-2
t=0 - не подходит.

ОДЗ t= \sqrt{ \frac{a+2}{2} } будет a+2≥0, откуда a≥-2, подставив 
\sqrt{1-t^2}\ \textgreater \ -2\\ \sqrt{1-t^2} +2\ \textgreater \ 0
Значит решением будет уравнение 1-t^2=0 откуда t=\pm1

*********************************************************
Второе уравнение
-2t+1=0
t=0.5

Возвращаемся к замене
\sin x=\pm1\\ x=\pm \frac{\pi}{2}+2 \pi k,k \in Z\\ \\ \sin x=0.5\\ x=(-1)^{k}\cdot \frac{\pi}{6}+ \pi k,k \in Z

Находим наименьший положительный корень.
k=0; x=π/6 = 180/6 = 30 градусов

Ответ: 30 градусов
решение
...